Descripción
¿Por qué las matemáticas son incompletas?
El teorema de incompletitud de Gödel es un resultado fundamental en matemáticas que demuestra que cualquier teoría axiomática de números será inconsistente o incompleta. El problema de la parada de Turing es un resultado fundamental en informática que prueba que las computadoras no pueden saber si un programa se detendrá. El error de Gödel conecta estos teoremas con la cuestión del significado. El libro muestra que las pruebas surgen debido a confusiones de categorías entre nombres, conceptos, cosas, programas, algoritmos, problemas, etc. El libro argumenta que estos problemas se pueden resolver introduciendo categorías de lenguaje ordinario en las matemáticas.
Dónde reside la solución
La solución al problema, argumenta el autor, requiere un nuevo enfoque de los números en el que los números se traten como tipos en lugar de cantidades. Ver los números como tipos requiere un cambio fundamental en el que los objetos se construyen a partir de conjuntos en lugar de conjuntos a partir de objetos. Dado que los conjuntos denotan conceptos, este cambio implica que los objetos se crean a partir de conceptos. Esto también cambia nuestra visión del espacio-tiempo de lineal y abierto a jerárquico y cerrado. En esta descripción jerárquica, los objetos son símbolos de significado, más que cosas físicas. El autor llama a esta teoría la Teoría de Números de Tipo (TNT) y muestra que la visión de tipo de los números está libre de la incompletitud de Gödel y del problema de la parada de Turing.
Cómo está estructurado este libro
Capítulo 1: Mecanizando el pensamiento — proporciona una descripción general de las cuestiones matemáticas, filosóficas, lingüísticas y lógicas que precedieron a los resultados de Gödel y Turing y muestra que los problemas encontrados en las matemáticas tienen una corriente subyacente más amplia que se extiende a otras áreas de la ciencia.
Capítulo 2: El engaño de Gödel — analiza el teorema de incompletitud de Gödel y el problema de la parada de Turing y muestra cómo sus pruebas se basan en errores de categoría. El capítulo también conecta los teoremas con las cuestiones del significado de las oraciones y los programas. Esto sienta las bases para motivar puntos de vista alternativos sobre números y programas que pueden estar libres de las paradojas que surgen sin semántica.
Capítulo 3: Matemáticas y realidad — el capítulo analiza la noción platónica de las matemáticas, que mantiene las ideas y las cosas en mundos separados, y argumenta que existen en el mismo mundo. La necesidad de unirlos cambia nuestra visión de los objetos, el espacio-tiempo, los números y los programas. Ahora, los objetos son símbolos y los números y los programas son tipos. Se discuten las implicaciones de esta visión para el problema cartesiano de la mente-cuerpo y la separación platónica entre ideas y cosas.
Capítulo 4: Números y significados — desarrolla las intuiciones sobre los números como tipos al interpretar varias clases de números (números naturales, cero, números negativos, irracionales y racionales, y números imaginarios) en términos de significados. El capítulo concluye definiendo el término Teoría de Números de Tipo (TNT).
Capítulo 5: Fundamentos matemáticos — el capítulo critica algunas ideas fundamentales en matemáticas, incluyendo la lógica, la teoría de conjuntos y la teoría de números, y muestra por qué la noción misma de un objeto como algo lógicamente anterior a las ideas es lógicamente inconsistente. El autor argumenta que los números son resultados de la distinción, y la distinción requiere distinciones. La base de las matemáticas no reside, por lo tanto, en la idea de objetos y colecciones, sino en la naturaleza de las distinciones.
El libro concluye con una discusión sobre cómo las distinciones se originan en la naturaleza de la observación y cómo la base de las matemáticas puede verse, por lo tanto, en las propiedades fundamentales de la conciencia que divide y clasifica para conocer.
Author: Ashish Dalela
Publisher: Shabda Press
Published: 11/17/2014
Pages: 232
Binding Type: Paperback
Weight: 0.66lbs
Size: 8.50h x 5.51w x 0.53d
ISBN13: 9788193052310
ISBN10: 8193052315
BISAC Categories:
- Mathematics | General
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